前回の「直線上にある集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは、あるか？」の素数距離の定理で、以下の条件Ａを付けた場合も解けましたので、報告します。

＜条件Ａ＞

　　集合の全ての要素に同じ数を加算したり減算したもの（つまり平行移動したもの）は、同一の集合とみなす。

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[定理3]

　　直線上にある２点集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは無数に存在する。

　　直線上にある３点集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは、双子素数が無限にあれば無数に存在する。しかし双子素数が有限個であれば有限個となる。

　　直線上にある４点集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは、｛0,2,5,7｝のみである。

　　直線上にある５点以上の集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは存在しない。

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　 以下、証明です。

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[証明]

＜条件Ａ＞

　　　集合の全ての要素に同じ数を加算したり減算したもの（つまり平行移動したもの）は、同一の集合とみなす。

　この条件Ａのもとで証明する。

　まず準備である。例えば、３点集合｛0, 5, 7｝とその集合内の要素それぞれにaを加えた｛0+a, 5+a, 7+a｝は、条件Ａによりと同一物になる。

よって以下、集合の最初の一番小さい要素は常に0とする。

　また、集合｛・・｝内の要素は右のものほど大きいとする。

さらに前回の定理2も適宜援用していく。

http://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu2/20850_j9.htm

　さて、まず直線上にある２点集合を考える。

｛0, A｝であるが、ここでAは素数である。

　素数が無限にあることはユークリッドにより証明されている。よってAと0の距離、つまりAから0を引いた数(A-0)で素数となるものも無限にあることは当然である。

　　以上より、どの２点間距離も素数であるような２点集合は、無数に存在する。

次に３点集合を考える。

｛0, A, B｝であるが、AとBは素数である。

Aが2の場合と奇素数の場合に分けて考えよう。

[Aが2の場合]

　｛0, 2, B｝となる。

　ここでBは奇素数であり、且つBから2を引いた数(B-2)も素数となる必要がある。

　そのような素数は、双子素数の大きい方として知られている。例えば、5と7の7、また11と13の13など。

　よって、もし双子素数が無限にあれば、どの２点間の距離も素数であるような３点集合は、無数にあることになる。

　もし双子素数が有限個であれば、どの２点間の距離も素数であるような３点集合は、有限個あることになる。

[Aが奇素数の場合]

　｛0, A, B｝となるが、A, Bは奇素数であり、且つBからAを引いた数(B-A)も素数となる必要がある。

　つまり、これは「奇素数−奇素数＝素数となるものは、存在するか？」という問題になる。

”奇素数−奇素数”は偶数となる。4以上の偶数はだめ（素数でない）なので、許されるのは2のみである。奇素数−奇素数＝2となる奇素数のペアというと、それは双子素数である。

よって、もし双子素数が無限にあれば、どの２点間の距離も素数であるような３点集合は、無数にあることになる。

　もし双子素数が有限個であれば、どの２点間の距離も素数であるような３点集合は、有限個あることになる。

　結局つまり、どの２点間距離も素数であるような３点集合は、双子素数の問題にかかっている。

次に４点集合を考えよう。

　{0, A, B, C｝であるが、A,B,Cは素数である。

Aが奇素数の場合と2の場合に分けて考えよう。

　まず、Aが奇素数の場合を考えよう。

[Aが奇素数の場合]

　｛0, A, B, C｝であるが、A,B,Cは奇素数、且つ、集合内の要素間の距離も素数となる必要がある。

しかし、そのような集合は存在しない。

　なぜなら、CからAを引き算した数(C-A)は、4以上の偶数になって素数とはならないからである。

[Aが2の場合]

　｛0, 2, B, C｝であるが、B,Cは奇素数、且つ、集合内の要素間の距離も素数となる必要がある。

３点集合の考察から、Bは双子素数の大きい方である必要がある。またBとCは奇素数であるから、CはBより2だけ大きい奇素数である必要がある(それ以上離れると差分が4以上の偶数となって、距離が素数でなくなる！)。よって、

「BとCは双子素数の関係にあり(B＜C)、且つBが双子素数の大きい方の数である」----�@

となる。

　�@を満たすような数はp,p+2,p+4だが、そのような”純粋な”三つ子素数は、(3,5,7)しか知られていない。なぜならpが5以上になると、p+2かp+4のいずれかが３の倍数になることが簡単に証明できるからである。

（pが3で割って1余る数ならばp+2が3の倍数に、pが3で割って2余る数ならばp+4が3の倍数になる。<参考>）

　よって、結局、直線上にある４点集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは、｛0,2,5,7｝のみである。

次に５点以上の集合の場合を考えよう。

　５点以上の集合では、前回の定理2より「そもそも集合自体が存在しない」と分かったので、条件Ａがあっても、どの２点間の距離も素数であるようなものは存在しない。

　以上より、定理3が証明された。

証明終わり。

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このように条件Ａを付けると、双子素数や三つ子素数の問題に関係するものとなりました。面白いことです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2022/8/21 杉岡幹生

＜参考＞

Wikipedia,三つ子素数、

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E3%81%A4%E5%AD%90%E7%B4%A0%E6%95%B0

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