球面三角法

半径1の球面（単位球面）上に3点A,B,Cがあり、それぞれが大円の弧で結ばれているものとする。球面三角形ABCの3辺の長さ(球面距離)をα,β,γで表すとそれぞれ大円の中心角となる。すなわち、単位球では球面距離を中心角と同一視できる。また、内角A,B,Cは大円同士が交わる面角の大きさである。

球面三角法の公式は多数あるが、ここで用いるのは

球面余弦定理：cosγ=cosα･cosβ+sinα･sinβ･cosCとその巡回置換、

それに球面三角形ABCの面積Sを角過剰として表したS=A+B+C-πの2つだけである。

n角形はn-3本の対角線によりn-2個の三角形に分割されるので、球面四角形と球面五角形ではそれぞれS＝A+B+C+D-2π, S＝A+B+C+D+E-3πとなる。

これを使うとプログラムはかなり簡約化される

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ガウスの奇跡の五芒星

コクセターがフリーズの研究を始めたのはガウスが奇跡の五芒星(pentagramma mirificum)と呼んだ球面上の五角形の研究がきっかけだったとされる。

この五芒星は球面上の5つの大円が2個ずつ互いに直交した5組の対蹠点と赤道を与える。

もっとも対称性の高いものでは球面正五角形の辺の中心角をα、a=tan^2αと決めると、

黄金則a^2=a+1を満たし、大円をα=51.8273度、直角に対する補角α’=38.1727で交互に分割する。

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球面正五角形の面積: 5(π-α)-3π

{(2α+π/2)-π}*5=10α-5π/2

{(π-α+3π/2)-2π}*5=-5α+5π/2

計2πとなる

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