球面三角法

半径1の球面（単位球面）上に3点A,B,Cがあり、それぞれが大円の弧で結ばれているものとする。球面三角形ABCの3辺の長さ(球面距離)をα,β,γで表すとそれぞれ大円の中心角となる。すなわち、単位球では球面距離を中心角と同一視できる。また、内角A,B,Cは大円同士が交わる面角の大きさである。

球面三角法の公式は多数あるが、ここで用いるのは

球面余弦定理：cosγ=cosα･cosβ+sinα･sinβ･cosCとその巡回置換、

それに球面三角形ABCの面積Sを角過剰として表したS=A+B+C-πの2つだけである。

n角形はn-3本の対角線によりn-2個の三角形に分割されるので、球面四角形と球面五角形ではそれぞれS＝A+B+C+D-2π, S＝A+B+C+D+E-3πとなる。

これを使うとプログラムはかなり簡約化される

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ねじれ準正多面体の連続変形型

ねじれ立方体の各正方形を適宜な大きさの正方形にすることができる。

正方形の大きさを変えることで、正八面体←ねじれ立方体型→立方八面体へと連続変形する。

同様に、正20面体←ねじれ12面体型→20･12面体、正四面体←ねじれ四面体型→正八面体となる。

ピースの3等分設計を4等分設計に変更した場合の中心角は、

ねじれ立方体(β=28.6635度)、ねじれ12面体(β=19.3061度)、ねじれ4面体(β=36度)となった。

3α=4βは成り立たず、中心角は簡単な一般式では表せそうにない。

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