■余弦定理と球面余弦定理(その7)

 ヘロンの公式とは,

Δ^2=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

  =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

r/R=4cosA・cosB・cosC

でなく

r/R=4sinA/2・sinB/2・sinC/2

となると,すべて正になるので都合ががいい.

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 (その4)より,

→cosA=(b^2+c^2−a^2)/2bc

 cosB=(c^2+a^2−b^2)/2ca

 cosC=(a^2+b^2−c^2)/2ab

  2△=absinC=bcsinA=casinB

→sinA=2△/bc,sinB=2△/ca,sinC=2△/ab

  abc=4R△,(a+b+c)r=2△

  abc=2R(a+b+c)r

  abc/4△=R,r=2△/(a+b+c)

  Rr^2=abc△/(a+b+c)^2

を用いることにする.

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4sinA/2・sinB/2・sinC/2

=(2・2sin^2A/2・2sin^2B/2・2sin^2C/2)^1/2

={2(1−cosA)(1−cosB)(1−cosB)}^1/2

={2(1−(b^2+c^2−a^2)/2bc)(1−(c^2+a^2−b^2)/2ca)(1−(a^2+b^2−c^2)/2ab)}^1/2

={2(a^2−(b−c)^2)/2bc)(b−(c−a)^2/2ca)(c^2−(a−b)^2/2ab)}^1/2

={(b+c−a)^2(c+a−b)^2(a+b−c)^2/4a^2b^2c^2}^1/2

=(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)/2abc

=(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)/2abc(a+b+c)

=16Δ^2/2・4R△・2△/r=r/R

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