■余弦定理と球面余弦定理(その6)

 ヘロンの公式とは,

Δ^2=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

  =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

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 (その5)より,

Δ^2

=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

  =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

=2Δ/r・2acosA・2bcosB・2ccosC/16

Δ=abc/r・cosA・cosB・cosC

abc=4R△

r/R=4cosA・cosB・cosC

 ここで困るのはcosA・cosB・cosCが正とは限らないことであるが,正と仮定してこのまま続ける.

  2cosBcosC=cos(B+C)+cos(B−C)

           =cos(B−C)−cosA

  cosAcosBcosC

 =1/2・cosA(cos(B−C)−cosA)

 ≦1/2・cosA(1−cosA)≦1/8

r/R=4cosA・cosB・cosC≦1/2→R≧2r

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