球面三角形の辺長が保たれるように平面上に再構成すると、平面三角形のそれぞれの内角は対応する球面三角形の内角よりも小さい。

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三辺の長さをa,b,c

球面三角形の内角をα、平面三角形の内角をα'とする。

α＞α'→sinα/2＞sinα'/2を示すことと同値である。

s=(a+b+c)/2

(sinα/2)^2=sin(s-b)sin(s-c)/sinbsinc

(sinα'/2)^2=(s-b)(s-c)/bc

したがって、sin(s-b)sin(s-c)/(s-b)(s-c)＞sinbsinc/bcを示せればよい。

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sinx/xが[0,π]で単調減少関数であること

s-b＜c,s-c＜bよりQED

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