杉岡です。昨日紹介いただいた素数距離の問題ですが、解けましたので報告します。予想は正しかったです。

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[定理1] 　直線上にある５点の集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは存在しない。

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　さらに一般化しました。

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[定理2]

　　直線上にある２点集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは無数に存在する。

　　直線上にある３点集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは無数に存在する。

　　直線上にある４点集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは無数に存在する。

　　直線上にある５点以上の集合で、どの２点間の距離も素数であるようなものは存在しない。

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　 以下、証明です。

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[証明]　　定理1は定理2に含まれるので、定理2を証明する。

　まず直線上にある２点集合を考える。

どの２点間の距離も素数である２点集合は、例えば｛1,3｝や｛2, 7｝がある。

いま{1,3}を考えよう。

　この要素全て(1,3)に、それぞれ1を足した｛2,4｝も、また1を引いた｛0,2｝も、２点間の距離は変わらない。

さらに1を足し続けたり、1を引き続けたりしたものも同じことが言える。

　以上より、どの２点間距離も素数であるような２点集合は、無数に存在することが分かる。

　次に３点集合を考える。

どの２点間の距離も素数である３点集合は、例えば｛1,3,6｝や｛1,3,8｝がある。

いま{1,3,6}を考えよう。

　この要素全て(1,3,6)に、それぞれ1を足した｛2,4,7｝も、また1を引いた｛0,2,5｝も、どの２点間の距離も変わらない。

さらに1を足し続けたり、1を引き続けたりしたものも同じことが言える。

　以上より、どの２点間距離も素数であるような３点集合は、無数に存在することが分かる。

　次に４点集合を考える。

どの２点間の距離も素数である４点集合に｛1,3,6,8｝がある。

　上記と同様の論理から、どの２点間距離も素数であるような４点集合は、無数に存在することが分かる。

　次に５点集合を考える。

　　背理法を用いて証明する。

４点集合までの証明から、全部の要素から同じ数を足したり引いたりしても（平行移動しても）同じであるから、0を一番小さい要素として設定しても一般性を失わない。よって、そのようにする。

さて、どの２点間の距離も素数であるような５点集合が存在したとする。---�@

その集合を｛0,A,B,C,D｝としよう。右の方が大きい、つまり0＜A＜B＜C＜Dとする。

　ここで、A,B,C,Dはすべて素数でなければならない。なぜなら、0からの距離が 素数であるためには、AもBもCもDもすべて素数である必要があるからである。

そして、0＜A＜B＜C＜Dの関係から、少なくともB,C,Dは奇数である。(Aだけは2かもしれない)

ここで、DとBの距離”D-B”を考えると、これは素数ではありえない。

なぜなら、三つの奇素数B,C,Dの関係B＜C＜Dから、DとBの差は4以上の偶数となるからである。

　すなわち、

　　D-B＝2m（m：2以上の自然数）

となる。　　これは�@に矛盾してしまう。�@を仮定したら矛盾が出た。よって、�@の仮定は間違いであると言える。

　これより、どの２点間の距離も素数であるような５点集合は存在しえないことが分かった。

　６点以上の集合でも、どの２点間の距離も素数であるようなものは存在しないことが、５点集合と同様に証明できる。略。

　以上より、定理2が証明された。

証明終わり。

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　このようにして証明できました。簡単な証明ですが、「無数にある or 一つもない」が論理で分かるというのは面白いことです。

ふと、もし、

　　平行移動した集合は同じもの（同一物）とみなす-----条件A

という条件が加わったら、どうなるのか？と思いました。

　条件Aが加わっても、５点以上の集合と２点集合の結果は、定理2と同じ結果になることは、すぐに分かります。

　しかし３点集合と４点集合はまだよくわかりません。

　数学では、このようにして問題が次の問題を生み出していくのでしょう。　　（杉岡幹生）

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