■偏りのあるサイコロ(その36)

 今回のコラムでは

  {P(x)}^2=x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12

=xΦ2(x)Φ3(x)Φ4(x)Φ6(x)Φ12(x)

=x(x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)(x^2−x+1)(x^4−x^2+1)

=Q(x)・R(x)

となるQ(x),R(x)を求めてみたい.

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[1]

  Q(x)=x(x+1)=x+x^2→2面体サイコロ(コインの表裏){1,2}

  R(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)(x^2−x+1)(x^4−x^2+1)=(x^2+1)(x^8+x^4+1)=1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10→6面体サイコロ{0,2,4,6,8,10}

[2]

  Q(x)=x(x^2+1)=x+x^3→2面体サイコロ(コインの表裏){1,3}

  R(x)=(x+1)(x^2+x+1)(x^2−x+1)(x^4−x^2+1)=(x+1)(x^8+x^4+1)=1+x+x^4+x^5+x^8+x^9→6面体サイコロ{0,1,4,5,9,10}

[3]

  Q(x)=x(x^2+x+1)=x+x^2+x^3→3面体サイコロ{1,2,3}

  R(x)=(x+1)(x^2−x+1)(x^4−x^2+1)

=(x^3+1)(x^4−x^2+1)=1−x^2+x^3+x^4−x^5+x^7→不適

[4]

  Q(x)=x(x^2−x+1)=x−x^2+x^3→不適

[5]

  Q(x)=x(x^4−x^2+1)=x−x^3+x^5→不適

[6]

  Q(x)=x(x+1)(x^2+1)=x+x^2+x^3+x^4→4面体サイコロ{1,2,3,4}

  R(x)=(x^2+x+1)(x^2−x+1)(x^4−x^2+1)=1+x^4+x^8→3面体サイコロ{1,4,8}

[7]

  Q(x)=x(x+1)(x^2+x^2+1)=x+2x^2+2x^3+x^4→6面体サイコロ{1,2,2,3,3,4}

  R(x)=(x^2+1)(x^2−x+1)(x^4−x^2+1)=1−x+x^2+x^6−x^7+x^8→不適

[8]

  Q(x)=x(x+1)(x^2−x+1)=x+x^4→2面体サイコロ{1,4}

  R(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)(x^4−x^2+1)=1+x+x^7+x^8→4面体サイコロ{0,1,7,8}

[9]

  Q(x)=x(x+1)(x^4−x^2+1)=x+x^2−x^3−x^4+x^5+x^6→不適

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[まとめ]まだ途中であるが,この辺で止めておきたい.結論を先にいうと,6面体サイコロ同士の組み合わせにはならないという.

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