■偏りのあるサイコロ(その35)

 シチャーマンのサイコロが円分多項式と関係していることは明らかであろう.

  Φ1(x)=x−1

  Φ2(x)=x+1

  Φ3(x)=x^2+x+1

  Φ4(x)=x^2+1

  Φ5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1

  Φ6(x)=x^2−x+1

  Φ7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1

  Φ8(x)=x^4+1

  Φ9(x)=x^6+x^3+1

  Φ10(x)=x^4−x^3+x^2−x+1

  Φ12(x)=x^4−x^2+1

  Φ15(x)=x^8−x^7+x^5−x^4+x^3−x+1

  Φ16(x)=x^8+1

  Φ18(x)=x^6−x^3+1

  Φ24(x)=x^8−x^4+1

  Φ36(x)=x^12−x^6+1

===================================

 正六面体サイコロの母関数は

  P(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6

      =x(x+1)(x^2+x+1)(x^2−x+1)

      =xΦ2(x)Φ3(x)Φ6(x)

 正八面体のサイコロの母関数は

  P(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8

      =x(x+1)(x^2+1)(x^4+1)

      =xΦ2(x)Φ4(x)Φ8(x)

 十面体のサイコロの母関数は

  P(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10

=x(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4−x^3+x^2−x+1)

=xΦ2(x)Φ5(x)Φ10(x)

 正十面体は存在しないので,正十角柱で代用することにする.

===================================

 一方,正12面体と正20面体は存在する.正12面体のサイコロの母関数は

  P(x)=xΦ2(x)Φ3(x)Φ4(x)Φ6(x)Φ12(x)

=x(x+1)(x^2+1)(x^2+x+1)(x^2−x+1)(x^4−x^2+1)

 同様に,正20面体のサイコロの母関数は

  P(x)=xΦ2(x)Φ4(x)Φ5(x)Φ10(x)Φ20(x)

となる.

===================================