■偏りのあるサイコロ(その31)

 もし,通常のサイコロではなく,正八面体サイコロだったらどうなるだろうか?

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 正八面体のサイコロの母関数は

  P(x)=x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8

      =x(x+1)(x^2+1)(x^4+1)

であり,2つを振ったときでる目の合計の母関数は

  {P(x)}^2=x^2(x+1)^2(x^2+1)^2(x^4+1)^2

=x^2+2x^3+3x^4+4x^5+5x^6+6x^7+5x^8+4x^9+3x^10+2x^11+x^12

になる.

 したがって,たとえば,

  Q(x)=x^2(x+1)^2(x^2+x+1)

=x^2+x^3+x^5+x^6

  R(x)=(x^2+x+1)(x^2−x+1)^2

=x^0+x^1+2x^2+x^3+2x^4+x^5+x^6

ならば,

  {P(x)}^2=Q(x)R(x)

となる.

 これには3通りの解がある.

[1]

Q(x)=x(x+1)(x^2+1)^2=x+x^2+2x^3+2x^4+x^5+x^6→八面体サイコロ{1,2,3,3,4,4,5,6}

R(x)=x(x+1)(x^4+1)^2=x^1+x^2+2x^5+2x^6+x^9+x^10→八面体サイコロ{1,2,5,5,6,6,9,10}

[2]

Q(x)=x(x+1)^2(x^2+1)=x+2x^2+2x^3+2x^4+x^5→八面体サイコロ{1,2,2,3,3,4,4,5}

R(x)=x(x^2+1)(x^4+1)^2=x^1+x^3+2x^5+2x^7+x^9+x^11→八面体サイコロ{1,3,5,5,7,7,9,11}

[3]

Q(x)=x(x+1)^2(x^4+1)=x+2x^2+x^3+x^5+2x^6+x^7→八面体サイコロ{1,2,2,3,5,6,6,7}

R(x)=x(x^2+1)^2(x^4+1)^2=x^1+2x^3+2x^5+2x^7+x^9→八面体サイコロ{1,3,3,5,5,7,7,9}

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