ここで取り上げるのは，四面体についてのオイラーの問題「６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで，与えられた４面体の体積を求めよ」です．

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【３】オイラーの四面体公式（空間のヘロンの公式）

　４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，

　２^2（２！）^2Ｓ^2＝｜０　　ａ^2　ｂ^2　１｜

　　　　　　　　　　　｜ａ^2　０　　ｃ^2　１｜

　　　　　　　　　　　｜ｂ^2　ｃ^2　０　　１｜

　　　　　　　　　　　｜１　　１　　１　　０｜

　　２^3（３！）^2Ｖ^2＝｜０　　ａ^2　ｂ^2　ｃ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　｜ａ^2　０　　ｄ^2　ｅ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　｜ｂ^2　ｄ^2　０　　ｆ^2　１｜

　　　　　　　　　　　　｜ｃ^2　ｅ^2　ｆ^2　０　　１｜

　　　　　　　　　　　　｜１　　１　　１　　１　　０｜

となります．

　前者はおなじみの平面三角形のヘロンの公式にほかなりませんが，面積をＳ＝Δとして，

（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）

ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと

　　Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

となり，ヘロンの公式が得られます．

　後者が空間のヘロンの公式であり，Ｖ＝Δとして

　　（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　　　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　　　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2

　この空間のヘロンの公式は，オイラーの公式と呼ばれるものですが，

　　（１２×体積）^2＝六斜術の両辺の差

に等しいということを主張しています．点Ｐが平面三角形ＡＢＣの平面上になく，４点が四面体の頂点をなすときの四面体の体積公式ですから，六斜術は四面体が平面上に退化して体積が０になった極限と解釈することができます．

　オイラーの公式は複雑であり，平面三角形のヘロンの公式のように因数分解できません．ただし，４面の面積が等しい等積四面体＝４面が合同な鋭角三角形よりなる四面体（バンの定理）の場合，

　　７２Δ^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−

と因数分解した形で表されます．

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