［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝７ｃｍ，ｂ＝１０ｃｍ，ｃ＝１３ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．

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　１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

　この公式を知っていれば答は簡単である．

　　ａ^2＝４９，ａ^4＝２４０１

　　ｂ^2＝１００，ｂ^4＝１００００

　　ｃ^2＝１６９，ｃ^4＝２８５６１

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝３１８

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝４０９６２

　　３（４０９６２＋ｄ^4）＝（３１８＋ｄ^2）^2

　　１２２８８６＋３ｄ^4＝１０１１２４＋６３６ｄ^2＋ｄ^4

　　ｄ^4−３１８ｄ^2＋１０８８１＝０

　　ｄ^2＝１５９±√１４４００＝１５９±１２０＝２７９，３９

［Ａ］点Ｐは正三角形の中にあるから，ｄ＝√２７９

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［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝５ｃｍ，ｂ＝７ｃｍ，ｃ＝８ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．

　　ａ^2＝２５，ａ^4＝６２５

　　ｂ^2＝４９，ｂ^4＝２４０１

　　ｃ^2＝６４，ｃ^4＝４０９６

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝１３８

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝７１２２

　　３（７１２２＋ｄ^4）＝（１３８＋ｄ^2）^2

　　２１３６６＋３ｄ^4＝１９０４４＋２７６ｄ^2＋ｄ^4

　　ｄ^4−１３８ｄ^2＋１１６１＝０

　　ｄ^2＝６９±√３６００＝６９±６０＝１２９，９

［Ａ］点Ｐは正三角形の中にあるから，ｄ＝√１２９

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［雑感］この問題ではａ，ｂ，ｃが等差数列をなしていないので計算が面倒になることが予想されたのであるが，√の中が平方数になるように設定されていて，そうはならなかった．

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