円周上にある無限個の点集合で，どの２点間の距離も整数であるものは存在するが，どの２点間の距離も奇数であるものという条件をつけると，状況は劇的に変化する．

［定理］平面上にある４点集合で，どの２点間の距離も奇数であるものは存在しない　　（グラハムの定理，１９７４年）

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【１】グラハムの定理

　どの２点間の距離も奇数であるような４点集合が存在すると仮定して，背理法を用いる．奇数の２乗は（２ｋ＋１）^2＝４ｋ（ｋ＋１）＋１＝８ｎ＋１であるから，ｄｅｔ（Ｍ）をｍｏｄ８で表すと

｜０　　ａ^2　ｂ^2　ｃ^2　１｜ ｜０　１　１　１　１｜

｜ａ^2　０　　ｄ^2　ｅ^2　１｜ ｜１　０　１　１　１｜

｜ｂ^2　ｄ^2　０　　ｆ^2　１｜＝｜１　１　０　１　１｜

｜ｃ^2　ｅ^2　ｆ^2　０　　１｜ ｜１　１　１　０　１｜

｜１　　１　　１　　１　　０｜ ｜１　１　１　１　０｜

　平面４点集合であるから，ｄｅｔ（Ｍ）をｍｏｄ８で計算すると０になるはずであるが，実際に計算してみると４になって矛盾．

　しかしながら，奇数の２乗

　　（２ｋ＋１）^2＝４ｋ（ｋ＋１）＋１＝４ｎ＋１

として，ｄｅｔ（Ｍ）をｍｏｄ４で計算すると０になって矛盾を引き出すことはできないことを補足しておきたい．

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