【３】ピザの最大分割数

（問）ピザをｎ本の直線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

（答）ピザをｎスライスしたときの最大ピース数を求めよという問題ですが，この問題は実は円という条件を取り去っても同じ答えになります．すなわち，平面をｎ本の線で分割する．その際，分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｓnはいくつになるか？

　ピザの中心を通るように３カットすると６切れになりますが，少しずらすと７切れできます．分割される領域数が最大になるためには，新しい線を引くとき，それ以前のすべての線と新しい交点で交わるようにします．既存の交点を通ると分割される領域が最大数にならないからです．

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７

はすぐに求められます．このことからｎ本目の線を引くと新しい領域がｎ個増えることがわかります．これを式で表すと

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn＝Ｓn-1＋ｎ

　　Ｓn-1＝Ｓn-2＋ｎ−１

　　・・・・・・・・・・

　　Ｓ1＝Ｓ0＋１

　　Ｓ0＝１

を辺々加えると，一般式

　　Ｓn＝１＋（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）＝１＋ｎ（ｎ＋１）／２

　　　 ＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

が得られます．すなわち，一般公式ではｎ回切った場合，

　　ｎ（ｎ＋１）／２＋１＝（ｎ^2＋ｎ＋２）／２

個の断片ができます．

　　Ｓ0＝１，Ｓ1＝２，Ｓ2＝４，Ｓ3＝７，

　　Ｓ4＝１１，Ｓ5＝１６，Ｓ6＝２２，Ｓ7＝２９，

　　Ｓ8＝３７，Ｓ9＝４６，Ｓ10＝５６，・・・

と続くというわけです．

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