正五角形の５つの頂点は距離が２通りしかない点集合である。

２次元ではこのような点集合の点の個数の上界は５点である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

３次元ではこのような点集合の点の個数の上界は６点である。

この６点は正四面体の辺の中点６個により実現される。

ｎ次元の正単体の辺のn(n+1)/2個の中点は距離が２通りしかない点集合になる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｄ次元空間において，どの２点間の距離も２種類のみのｎ点配置を考えるとｎの最大値は

　　ｄ（ｄ＋１）／２≦ｎ（ｄ）≦（ｄ＋１）（ｄ＋４）／２

で与えられるという．

　ｄ＝２のとき，正しい値５であるが，３≦ｎ（ｄ）≦９となる．もう少しうまくやると

　　ｄ（ｄ＋１）／２≦ｎ（ｄ）≦（ｄ＋１）（ｄ＋２）／２

に改善できるという．これであれば，ｄ＝２のとき，３≦ｎ（ｄ）≦６となる．

　　［参］マトウシェク「３３の素敵な数学小景」日本評論社

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝