［１］平面上に５つの点をどう配置しても必ず凸四角形をなす４点を選ぶことができる．

［２］平面上に９つの点をどう配置しても必ず凸五角形をなす５点を選ぶことができる．

［３］平面上に１７の点をどう配置しても必ず凸八角形をなす８点を選ぶことができる．

　しかし，なぜ常にそうなるのか本質的な理由はまだ解明されていない．それならば，次の問題はどうだろうか？

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【１】デルタ多面体

　すべての面が正三角形で構成されている立体をデルタ多面体（正三角面体）といいます．正４面体，正８面体，正２０面体は正三角形だけから作られる正多面体ですが，このほかに５種類，計８種類の凸デルタ多面体を作ることができます．

　結論を先にいうと，正３角形ばかりを集めると４面体から２０面体まで，１８面体以外の８種類すべての偶数多面体ができあがります．そのうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あることがわかりました．逆にいうと，もし多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．

　同様に，正方形１種類では立方体のみ，正５角形１種類では正１２面体のみが得られ，正６角形以上の正多角形ばかりでは凸多面体はできません．結局，１種類の正多角形でできる凸多面体は合計１０種類あることになります．

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　３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，最も美しい数学の１０大定理の１つに挙げられるものです．

　また，正則な多面体とはその面が正多角形で，どの面にも同じ数の面が集まっている凸多面体のことで，正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

でしたが，正則とは限らない一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ，

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

となります．

　ｐi＝３，３≦ｑi≦５ですから

　　３ｆ＝２ｅ　　　（ｆは偶数）

　　３ｖ≦２ｅ≦５ｖ

これをオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

に代入すると

　　６≦ｅ≦３０

　これより

　　４≦ｆ≦２０，（３≦ｖ≦２０）

が得られます．３ｆ＝２ｅよりｆは偶数ですから，４面体から２０面体までの偶数多面体がデルタ多面体の候補となります．

　　　ｆ　　　　　　ｅ　　　　　　ｖ

　　　４　　　　　　６　　　　　　４

　　　６　　　　　　９　　　　　　５

　　　８　　　　　１２　　　　　　６

　　１０　　　　　１５　　　　　　７

　　１２　　　　　１８　　　　　　８

　　１４　　　　　２１　　　　　　９

　　１６　　　　　２４　　　　　１０

　　１８　　　　　２７　　　　　１１

　　２０　　　　　３０　　　　　１２

　オイラーの多面体定理によってそれ以外にはないことを証明することができましたが，１９４２年，フロイデンタールによってデルタ１８面体は存在しないことが証明されました．

　ところで，ｆ＝１８（ｖ＝１１）が十分条件を満たさないことはどのようにして証明されるのでしょうか？　この点について一松信先生にうかがったのですが，この証明は殊の外厄介ということでした．それは凸多面体という条件がつくためなのですが，結局は頂点数１１の形を分類してどのような組でも凸体にならないことを確かめるという手間を要します．

　ｆ＝１８の不可能性の証明は端的にいって「あらゆる可能性を調べて凸体にならない」ことを示すような厄介な話です．オイラーの士官３６人の問題の不可能性の証明などもその１例です．

　なお，「ポリドロン」には辺の長さの等しい正３角形，正４角形，正５角形，正６角形のユニットがあります．ポリドロンによるｆ＝１８の模型を掲げますが，凸体に近いものの凸でない多面体ができあがりました．同じｆ＝１８を２つの方向から見た図を掲げます．

　この構成では

　　佐藤耕太郎（当時小学６年生），佐藤一麦（当時小学４年生），佐藤千種（当時２才）

の協力を得ました．「ポリドロン」は東京書籍がその取り扱い店となっています．→連絡先：tel:03-5390-7513,fax:03-5390-7409（大山茂樹）

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