【１】バーチの定理

　平面上の任意の３Ｎ個の点の集合に対して，それらを頂点とするＮ個の三角形を構成して，それらが共通部分をもつようにすることができる．

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【２】ハッピーエンド問題

［１］平面上に５つの点をどう配置しても必ず凸四角形をなす４点を選ぶことができる．

　この問題は戦前のブダペストでエシュテルによって提示された問題である．その会に出席していたエルデシュとジョルジーはその本質的な理由を考えた．その３年後，エシュテルとジョルジーは結婚．エルデシュにより，この問題は「ハッピーエンド問題」と呼ばれることになった．

［２］平面上に９つの点をどう配置しても必ず凸五角形をなす５点を選ぶことができる．

　エルデシュは

［３］平面上に７１の点をどう配置しても必ず凸六角形をなす６点を選ぶことができる．

ことを証明した．

　彼の仕事はどんなｎについても、ある数ｇ（ｎ）が存在して

［４］平面上にｇ（ｎ）個の点をどう配置しても必ず凸ｎ角形をなすｎ点を選ぶことができる．

ことを証明した．しかし，なぜ常にそうなるのか本質的な理由はまだ解明されていない．何をどうやって証明すればいいのだろうか？

　今日，７１は改良され，

　　１７≦ｇ（ｎ）≦３７

という結果が得られている．これはハッピーエンドにはなっていないのである．

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