ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1，ｃ＝Ｆ2k-1Ｌ2kＦ2k+1のとき

　　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）を計算してみたい

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abL=1/5・{α^4n+β^4n+３}{α^2n+β^2n}

abL=1/5・{α^6n+β^6n+３{α^2n+β^2n}+α^4nβ^2n+α^2nβ^4}

c=abL=ab{α^2n+β^2n}

c=1/5・{α^4n+β^4n+３}{α^2n+β^2n}

ａ＋ｂ＋ｃ=(a+b)+abL

１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ=(a+b)/ab+1/abL={(a+b)L+1}/abL

(ａ＋ｂ＋ｃ)(１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ)={(a+b)/abL+1}{(a+b)L+1}

=(a+b)^2/ab+(a+b)/abL+　(a+b)L+1

(ａ^2+ｂ^2＋１）／ａｂ＝3より

(ａ^2+ｂ^2＋2ab+１）／ａｂ＝5

(a+b)^2/ab=5-1/ab

したがって、

(a+b)/abL-1/abが整数であればよい

＝(a+b-L)/abL

a+b=Lであればよいのであるが、これが成り立つので右辺は整数である。

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(ａ＋ｂ＋ｃ)(１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ)=5+(a+b)L+1＝6+(a+b)L

　確認してみたい．

Ｆ1＝１，Ｆ2＝１，Ｆ3＝２，Ｆ4＝３，Ｆ5＝５，Ｆ6＝８，Ｆ7＝１３，Ｆ8＝２１，Ｆ9＝３４、F10＝55，F11＝89，F12＝144

Ｌ1＝１，Ｌ2＝３，Ｌ3＝４，Ｌ4＝７，Ｌ5＝１１，Ｌ6＝１８，Ｌ7＝２９，Ｌ8＝４７、L9＝76，L10＝123

［１］ｋ＝１

　Ｆ1＝１，Ｆ3＝２，Ｌ2＝３→　ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝６

　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）

＝９（１／１＋１／２＋１／６）

＝９（６／６＋３／６＋１／６）＝９・１０／６＝１５　　（ＯＫ）

6+3・3=15　　（OK)

［２］ｋ＝２

　Ｆ3＝２，Ｆ5＝５，Ｌ4＝７→　ａ＝２，ｂ＝５，ｃ＝７０

　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）

＝７７（１／２＋１／５＋１／７０）

＝７７（３５／７０＋１４／７０＋１／７０）＝７７・５０／７０＝５５　　（ＯＫ）

6+7・7=55　　（OK)

［３］ｋ＝３

　Ｆ5＝５，Ｆ7＝１３，Ｌ6＝１８→　ａ＝５，ｂ＝１３，ｃ＝１１７０

　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）

＝１１８８（１／５＋１／１３＋１／１１７０）

＝１１８８（２３４／１１７０＋９０／１１７０＋１／１１７０）＝１１８８・３２５／１１７０＝３３０　　（ＯＫ）

6+18・18=330　　（OK)

［４］ｋ＝４

　Ｆ7＝１３，Ｆ9＝３４，Ｌ8＝４７→　ａ＝１３，ｂ＝３４，ｃ＝２０７７４

　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）

＝２０８２１（１／１３＋１／３４＋１／２０７７４）

＝２０８２１（１５９８／２０７７４＋６１１／２０７７４＋１／２０７７４）＝２０８２１・２２１０／２０７７４＝２２１５　　（ＯＫ）

6+47・47=2215　　（OK)

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　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）＝(L2n)^2+6

となる 次は6+123・123=15135

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