■フィボナッチ数の整除性の問題(その9)

【6】フィボナッチ数の判定式

任意に与えられた数nが1,1から始まるフィボナッチ数であるかどうかをテストする簡単な方法がある.そのための必要十分条件は

  5n^2+4または5n^2−4

が平方数であることである.たとえば

  666→NG

  123→NG

  987→5(987)^2+4=(2207)^2

[1]必要条件

  a+b=c

  b^2=a・c±1

  (c−a)^2=a・c±x

  c^2−3ac+a^2±x=0

  D=9a^2−4a^2±4=5a^2±4=d^2→すなわち,5n^2+4または5n^2−4が平方数であること

[2]十分条件

  c=(3a±d)/2

  aが偶数のとき,3aもdも偶数→cは整数となる

  aが奇数のとき,3aもdも奇数→cは整数となる

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