■フィボナッチ数の整除性の問題(その5)

【2】フィボナッチ数の整除性

 F3n=0  (mod2)

 F4n=0  (mod3)

 F5n=0  (mod5)

 F6n=0  (mod8)

 F7n=0  (mod13)

すなわち,フィボナッチ数はn個おきに,Fnの倍数になる.

(証)

  Fn+2= Fn+1+ Fn

  Fn+3=2Fn+1+ Fn

  Fn+4=3Fn+1+2Fn

  Fn+5=5Fn+1+3Fn

  ・・・・・・・・・・・

  Fn+k=FkFn+1+Fk-1Fn

ここで,k=n,2n,・・・とすると

  F2n=FnFn+1+Fn-1Fn

  F3n=F2nFn+1+F2n-1Fn

  ・・・・・・・・・・・・・・

より,

FknはFnの倍数であることがわかります.いいかえれば,3項ごとにFnは2の倍数,4項ごとにFnはF4=3の倍数,5項ごとにFnはF5=5の倍数,8の倍数は6項ごとに現れます.

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