【１】フィボナッチ数の整除性

　フィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．

　　Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n 　　　（カッシーニの公式）

　　Ｆ1 ＋Ｆ2 ＋Ｆ3 ＋・・・＋Ｆn ＝Ｆn+2 −１

　　Ｆ1 ＋Ｆ3 ＋Ｆ5 ＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

　　Ｆ2 ＋Ｆ4 ＋Ｆ6 ＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

　　Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn ・Ｆn+1

　有名な幾何学的パラドックス＜６４ｃｍ^2 ＝６５ｃｍ^2 ＞は，「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです．きっと，いろいろな本でみたことのある方も多いと思います．このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n は，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかで，このトリックパズルのもとになっています．

　また，

　　Ｆn+2＝　Ｆn+1＋　Ｆn

　　Ｆn+3＝２Ｆn+1＋　Ｆn

　　Ｆn+4＝３Ｆn+1＋２Ｆn

　　Ｆn+5＝５Ｆn+1＋３Ｆn

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｆn+k＝ＦkＦn+1＋Ｆk-1Ｆn

ここで，ｋ＝ｎ，２ｎ，・・・とすると

　　Ｆ2n＝ＦnＦn+1＋Ｆn-1Ｆn

　　Ｆ3n＝Ｆ2nＦn+1＋Ｆ2n-1Ｆn

　　・・・・・・・・・・・・・・

よりＦknはＦnの倍数であることがわかります，

　いいかえれば，３つ目ごとのＦnが偶数，４つ目ごとのＦnはＦ4＝３で割り切れ，５つ目ごとのＦnはＦ5＝５で割り切れます．

　１８７６年，リュカはさらにすごい式

　　ｇｃｄ（Ｆm，Ｆn）＝Ｆgcd(m,n)

が成り立つことを証明しました．

　この他のフィボナッチ数の整除性については，各素数ｐで割り切れるＦnがあること，また，奇素数ｐに対して

　　Ｆp＝５^(p-1)/2　　（ｍｏｄｐ）

が成り立つことなどがあげられます．

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