奇数を２乗した平方数1,9,25,49,81,121,・・・

を８で割ると、余りはすべて１となります。

(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1

kとk+1のどちらかは偶数なので4k(k+1)は常に8で割り切れます。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3で割り切れない奇数を２乗すると

(6k+1)^2=36k^2+12k+1=24k^2+12k(k+1)+1

(6k+5)^2=36k^2+60k+1=24(k^2+2k+1)+12k(k+1)+1

12k(k+1)は常に24で割り切れますから、これらを24で割ると、余りはすべて１となります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

3でも5でも割り切れない奇数を２乗すると

(30k+1)^2=900k^2+60k+1=60(15k+1)+1

これらを60で割ると、余りはすべて１となります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(4k+1)^2=16k^2+8k+1=8k(2k+1)+1・・・8で割ると、余りはすべて１となります。

(8k+1)^2=64k^2+16k+1=16k(4k+1)+1・・・16で割ると、余りはすべて１となります。

(10k+1)^2=100k^2+20k+1=20k(5k+1)+1・・・20で割ると、余りはすべて１となります。

(12k+1)^2=144k^2+24k+1=24k(6k+1)+1・・・24で割ると、余りはすべて１となります。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(30k+1)^2=900k^2+60k+1=60(15k+1)+1・・・60で割ると、余りはすべて１となります。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝