正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

正四面体の場合

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4)

1辺は√2になります。

正四面体の相隣る4辺の中点は

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

となって、1辺の長さ√1/2,対角線の長さ1となって、正方形であることがわかります。

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正四面体の4頂点

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

は超平面：x1+x2+x3+x4=1上にあります。

また、赤道面

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

は超平面：x1+x3=x2+x4=1/2上にあります。

(1/2,1/2,0,0)は、x1+c2=1,x3=0,x4=0の共有される点であり、辺(1,0,0,0)-(0,1,0,0)を含んでいます。

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正四面体の4頂点

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

は超平面：x1+x2+x3+x4=1上にあります。

また、赤道面

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

は超平面：x1+x3=x2+x4=1/2上にあります。

x1+x2+x3+x4=1ではなく、x1+x3=x2+x4=1/2のような表示が求められている

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超平面：x1+x3=x2+x4=1/2と

辺x1+x2=1,x3=0,x4=0の交点x1[0,1],x2{0,1]を求めてみたい→x1=1/2,x2=1/2

辺x1+x3=1,x2=0,x4=0の交点x1[0,1],x3{0,1]を求めてみたい→NG

辺x1+x4=1,x2=0,x3=0の交点x1[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→x1=1/2,x4=1/2

辺x2+x3=1,x1=0,x4=0の交点x2[0,1],x3{0,1]を求めてみたい→x2=1/2,x3=1/2

辺x2+x4=1,x1=0,x3=0の交点x2[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→NG

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0の交点x3[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→x3=1/2,x4=1/2

4辺と交差する

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これは成り立つ。

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