正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

5次元正単体の場合

P1:(1,0,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0,0)

P4:(0,0,0,1,0,0)

P5:(0,0,0,0,1,0)

P6:(0,0,0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0,0,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4,0,0),・・・

正5胞体の中心は (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5,0),・・・

全体の中心は(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)

1辺は√2になります。

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5次元正単体の6頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5+x6=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=2(x2-x3),x2-x5=2(x3-x4),x3-x6=2(x4-x5)・・・対角線の長さ2となるための条件

は超平面：x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3-x5=√3(x3-x4),x4-x6=√3(x4-x5)・・・対角線の長さ√3となるための条件

両方が必要と考えられる。

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例えば、面P1P2P3P4はx1+x2+x3+x4=1,x5=0,x6=0上にあり、

x1-x4=2(x2-x3),x2-x5=2(x3-x4),x3-x6=2(x4-x5)

x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3-x5=√3(x3-x4),x4-x6=√3(x4-x5)

との共有点は

x1-x4=2(x2-x3),x2=2(x3-x4),x3=2(x4)

x1-x3=√3(x1-x2),x2-x4=√2(x2-x3),x3=√3(x3-x4),x4=√3(x4)・・・NG

x3=2x4,x2=2x4,x1=x4

x1+x2+x3+x4=1→6x4=1→(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

この巡回置換によって正六角形の頂点が得られるとすると

Q1:(1/6,1/3,1/3,1/6,0,0)

Q2:(1/3,1/3,1/6,0,0,1/6)

Q3:(1/3,1/6,0,0,1/6,1/3)

Q4:(1/6,0,0,1/6,1/3,1/3)

Q5:(0,0,1/6,1/3,1/3,1/6)

Q6:(0,1/6,1/3,1/3,1/6,0)

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こうなると重要なのは差ベクトルということになる。

Q1,Q6の差ベクトル

(1/6,1/6,0,-1/6,-1/6,0)

これに垂直な平面は

(1/6,1/6,0,-1/6,-1/6,0)・(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=0

x1=x4=1/2,x2=x3=x5=x6=0と交わる

x1=x5=1/2,x2=x3=x4=x6=0と交わる

x2=x4=1/2,x1=x3=x5=x6=0と交わる

x2=x5=1/2,x1=x3=x4=x6=0と交わる

頂点

x3=1,x1=x2=x4=x5=x6=0

x6=1,x1=x2=x3=x4=x5=0

もこの超平面に載る

中心(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6)も通る

中点と頂点以外の点とも交わる。計9点

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