「四面体ABCDがあり、ABの中点をM,CDの中点をNとする。MNを通る平面は常に四面体ABCDの体積を2等分する」

「2k-1次元単体A1A2・・・A2nのｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,Bkを通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

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この偶数次元版は辺→点の極限を考えることによって、

「2k次元単体A1A2・・・A2k,A2k+1のｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,BkとA2k+1を通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

と思われる。

2次元の場合

「三角形ABCがあり、ABの中点をMとする。MCを通る直線は常に三角形ABCの体積を2等分する」は正しい

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P1:(1,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P4:(0,0,0,1,0)

P5:(0,0,0,0,1)

P1P2の中点(1/2,1/2,0,0,0)

P3P4の中点(0,0,1/2,1/2,0)

P5(0,0,0,0,1)を通る超平面をx+by+cz+du+ev=fとする

1/2+b/2=f

c/2+d/2=f

e=f

f=1とおくと,e=1,b=1,c=1,d=1→この平面は

P2P3の中点(0,1/2,1/2,0,0)

P1P4の中点(1/2,0,0,1/2,0)も通るというよりどこでも通る

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(τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0,0)

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

(0,0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

(τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5,1/√5)

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)

この5点は超平面：x1+x2+x3+x4+x5=1上にある

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