■グラハム数(その28)

 i=exp(iπ/2)・・・虚軸上の点

 i^i=exp(i^2π/2)=exp(−π/2)・・・実軸上の点

 i^i^i=exp(iπ/2)^exp(−π/2)=cos{π/2exp(−π/2)}+isin{π/2exp(−π/2)}・・・単位円周上の点

 i^i^i^i=・・・

 i^i^i^i^i=・・・極限値はどのような1点に収束するのだろうか?

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i^ω=ω

この超越方程式は、

(-iπ/2・ω)exp(-iπ/2・ω)=-iπ/2

と書き直すことができて、ランベルトのW関数を用いて

i^i^i^i^i・・・=i2/π・W(-iπ/2)=0.4382829367+0.3605924719i

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一般に

α^α^α^α^α・・・=W(-logα)/(-logα)

α=1/eのときW(-log1/e)/(-log1/e)=W(1)=Ω

複素数αが|W(-logα)|<1あるいはある自然数nでW(-logα)^n=1を満たすとき

α^α^α^α^α・・・=W(-logα)/(-logα)が成り立つ。

複素数αが|W(-logα)|>1のとき、数列は発散する。

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