sin(sinx)を考える

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sinx=Σ(-1)^n/(2n+1)!・x^2n+1

sin(sinx)=Σ(-1)^1/(2n+1)!・(sinx)^2n+1

また、

(sinx)^2n+1=Σ(-1)^k/4^n・(2n+1,n-k)・sin((2k+1)x)

より、

sin(sinx)=Σ(-1)^1/(2n+1)!・Σ(-1)^k/4^n・(2n+1,n-k)・sin((2k+1)x)

を得る。

一般に、N重合成関数

|sin(sin(sin(・・・(sinx))))|<=2/log(N+1)

これはx>=1のとき、

sin(2/log(N+1))<=2/log(N+2)

より証明される。

1回合成→2/log(N+1)＝2.88539

2回合成→2/log(N+1)＝1.82048

3回合成→2/log(N+1)＝1.44269

4回合成→2/log(N+1)＝1.24267

10回合成→2/log(N+1)＝0.834065

100回合成→2/log(N+1)＝0.433358

1000回合成→2/log(N+1)＝0.289488

次第に平べったくなるが・・・,

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フーリエ級数展開（近似関数）は

7/8・sinx+1/24・sin3x

sin(sin15°)〜7/8・sinx+1/24・sin3x

ｓｉｎ１５°＝（２＋√３）／（√６＋√２）＝（√６−√２）／４

より

sin(sin15°)〜7/8・（√６−√２）／４+1/24・√2/２

＝21/96・（√６−√２）+2√2/96＝（21√６−19√２）/96

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∫(0,π）(7/8・sinx+1/24・sin3x)dx=16/9

平均値は16/9π＝0.566

sin(sin15°)〜7/8・（√６−√２）／４+1/24・√2/２

＝21/96・（√６−√２）+2√2/96＝（21√６−19√２）/96＝24.57/96＝0．256

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