sin(sinx)を考える

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sinx=Σ(-1)^n/(2n+1)!・x^2n+1

sin(sinx)=Σ(-1)^1/(2n+1)!・(sinx)^2n+1

また、

(sinx)^2n+1=Σ(-1)^k/4^n・(2n+1,n-k)・sin((2k+1)x)

より、

sin(sinx)=Σ(-1)^1/(2n+1)!・Σ(-1)^k/4^n・(2n+1,n-k)・sin((2k+1)x)

を得る。

一般に、N重合成関数

|sin(sin(sin(・・・(sinx))))|<=2/log(N+1)

これはx>=1のとき、

sin(2/log(N+1))<=2/log(N+2)

より証明される。

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なお、シンク関数

y=sinc(x)=sinx/x

において

y'=d/dx(sinc(x))=(xcosx-sinx)/x^2

同様に、

y^(n)を計算すると、非常に激しい関数に見える。

ところが、実際の最大値は

｜y^(n)｜<-1/(n+1)

n=10でも1/11であり、減衰のスピードは遅いことがわかる。

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