ｉ＝ｅｘｐ（ｉπ／２）・・・虚軸上の点

　ｉ^i＝ｅｘｐ（ｉ^2π／２）＝ｅｘｐ（−π／２）・・・実軸上の点

　ｉ^i^i＝ｅｘｐ（ｉπ／２）^ｅｘｐ（−π／２）＝ｃｏｓ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝＋ｉｓｉｎ｛π／２ｅｘｐ（−π／２）｝・・・単位円周上の点

　ｉ^i^i^i＝・・・

　ｉ^i^i^i^i＝・・・

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ところで、・・・

【１】調和散歩の問題

（Ｑ）原点から実軸上を正の方向に１きたところで，反時計回りにθ回転し１／２進む．さらに再度θ回転し１／３進む．次はθ回転し１／４進む．これを繰り返す．最終到達点は？

（Ａ）最終到達点は

　　ｐ（θ）＝１＋１／２ｅｘｐ（ｉθ）＋１／３ｅｘｐ（ｉ２θ）＋１／４ｅｘｐ（ｉ３θ）＋・・・

　　　　　　＝Σ(k=1,∞)ｃｏｓ（（ｋ−１）θ）／ｋ＋ｉΣ(k=1,∞)ｓｉｎ（（ｋ−１）θ）／ｋ

　θ＝π／２のとき

　　ｐ（π／２）＝（１−１／３＋１／５−１／７＋・・・）＋ｉ（１／２−１／４＋１／６−１／８＋・・・）＝π／４＋ｉ１／２ｌｏｇ２

このとき，終点と原点との距離は

　　｜ｐ（π／２）｜＝｛（π／４）^2＋（１／２ｌｏｇ２）^2｝^1/2＝０．８５８５

　θ＝πのとき

　　ｐ（π）＝１−１／２＋１／３＋１／４−・・・＝ｌｏｇ２

　　｜ｐ（π）｜＝ｌｏｇ２＝０．６９３

最終到達点が原点から最も近いのは，θ＝πのときであることが示される．

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