■グラハム数(その13)

 i=exp(iπ/2)・・・虚軸上の点

 i^i=exp(i^2π/2)=exp(−π/2)・・・実軸上の点

 i^i^i=exp(iπ/2)^exp(−π/2)=cos{π/2exp(−π/2)}+isin{π/2exp(−π/2)}・・・単位円周上の点

 i^i^i^i=・・・

 i^i^i^i^i=・・・

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ところで、・・・

【1】調和散歩の問題

(Q)原点から実軸上を正の方向に1きたところで,反時計回りにθ回転し1/2進む.さらに再度θ回転し1/3進む.次はθ回転し1/4進む.これを繰り返す.最終到達点は?

(A)最終到達点は

  p(θ)=1+1/2exp(iθ)+1/3exp(i2θ)+1/4exp(i3θ)+・・・

      =Σ(k=1,∞)cos((k−1)θ)/k+iΣ(k=1,∞)sin((k−1)θ)/k

 θ=π/2のとき

  p(π/2)=(1−1/3+1/5−1/7+・・・)+i(1/2−1/4+1/6−1/8+・・・)=π/4+i1/2log2

このとき,終点と原点との距離は

  |p(π/2)|={(π/4)^2+(1/2log2)^2}^1/2=0.8585

 θ=πのとき

  p(π)=1−1/2+1/3+1/4−・・・=log2

  |p(π)|=log2=0.693

最終到達点が原点から最も近いのは,θ=πのときであることが示される.

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