■グラハム数(その10)

x^x^x^x^x^・・・が極限値をもつのはx=e^-e=0.065988・・・とx=e^1/e=1.444667861・・・の間であるときであることを、オイラーは示した。

ここではその複素化を考える

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 i=exp(iπ/2)・・・虚軸上の点

 i^i=exp(i^2π/2)=exp(−π/2)・・・実軸上の点

 i^i^i=exp(iπ/2)^exp(−π/2)=cos{π/2exp(−π/2)}+isin{π/2exp(−π/2)}・・・単位円周上の点

 i^i^i^i=・・・

 i^i^i^i^i=・・・極限値はどのような1点に収束するのだろうか?

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i^ω=ω

この超越方程式は、

(-iπ/2・ω)exp(-iπ/2・ω)=-iπ/2

と書き直すことができて、ランベルトのW関数を用いて

i^i^i^i^i・・・=i2/π・W(-iπ/2)=0.4382829367+0.3605924719i

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