■グラハム数(その7)

x^x^x^x^x^・・・=mのとき,

x^(x^x^x^x^x^・・・)=x^m=m

と書き変えることができて

  x=m^1/m 

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[補題]関数y=x^1/xを微分せよ.

logy=logx^1/x=(logx)/x

  ((logx)/x)’=(1−logx)/x^2

  y’=y(1−logx)/x^2=(1−logx+1)x^1/x-2

したがって,x=eのとき,最大値1.4446647861・・・をとる.

 g(x)=(logx)/x

g’(x)=(1−logx)/x^2

について

  loge/e>logπ/π

であるから,

  e^π>π^e

 実際,

  e^π=23.14069・・・

  π^e=22.45915・・・

3^2>2^3

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