ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・＝mのとき，

ｘ^（ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^ｘ^・・・）＝ｘ^m＝ｍ

と書き変えることができて

　　ｘ＝m^1/m　

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［補題］関数ｙ＝ｘ^1/xを微分せよ．

ｌｏｇｙ=ｌｏｇｘ^1/x＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

　　（（ｌｏｇｘ）／ｘ）’＝（1−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

　　ｙ’＝ｙ（1−ｌｏｇｘ）／ｘ^2＝（１−ｌｏｇｘ＋１）ｘ^1/x-2

したがって，ｘ＝ｅのとき，最大値１．４４４６６４７８６１・・・をとる．

　ｇ（ｘ）＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

ｇ’（ｘ）＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

について

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　実際，

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

３^2＞２^3

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