問題を整理しておきたい

正多角形の載る2次元平面を延長させて辺との交点を求める

その形はどうなっているのか？

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正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

正四面体の場合

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4)

1辺は√2になります。

正四面体の相隣る4辺の中点は

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

となって、1辺の長さ√1/2,対角線の長さ1となって、正方形であることがわかります。

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正四面体の4頂点

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

は超平面：x1+x2+x3+x4=1上にあります。

また、赤道面

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

は超平面：x1+x3=x2+x4=1/2上にあります。

(1/2,1/2,0,0)は、x1+c2=1,x3=0,x4=0の共有される点であり、辺(1,0,0,0)-(0,1,0,0)を含んでいます。

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正四面体の4頂点

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

は超平面：x1+x2+x3+x4=1上にあります。

また、赤道面

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

は超平面：x1+x3=x2+x4=1/2上にあります。

x1+x2+x3+x4=1ではなく、x1+x3=x2+x4=1/2のような表示が求められている

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（その70-92）（その95）（その110-113）を参照したところ、誤りがあるようだった。

中心から正多角形の頂点までのベクトルを求めると

(1/2-1/4,1/2-1/4,-1/4,-1/4)=(1/4,1/4,-1/4,-1/4)

(-1/4,1/2-1/4,1/2-1/4,-1/4)=(-1/4,1/4,1/4,-1/4)

(-1/4,-1/4,1/2-1/4,1/2-1/4)=(-1/4,-1/4,1/4,1/4)

(1/2-1/4,-1/4,-1/4,1/2-1/4)=(1/4,-1/4,-1/4,1/4)

ベクトルを２つ選ぶ。

a(1/4,1/4,-1/4,-1/4)

b(-1/4,1/4,1/4,-1/4)

a+bt=(1/4-t/4,1/4+t/4,-1/4+t/4,-1/4-t/4)

これがx1+x2=1,x3=x4=0と交わるか？ (NG)

これがx1+x3=1,x2=x4=0と交わるか？ t=-1,x1+x3=1でない(NG)

これがx1+x4=1,x2=x3=0と交わるか？ (NG)

これがx2+x3=1,x1=x4=0と交わるか？ (NG)

これがx2+x4=1,x2=x3=0と交わるか？ (NG)

これがx3+x4=1,x1=x2=0と交わるか？ (NG)

この方法が正攻法と思われるがなぜうまくいかないのだろうか？

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4次元空間内のベクトルなので4つ選ぶか

2次元空間内のベクトルなので2つ選ぶか

後者でよさそうであるが・・・

as+bt=(s/4-t/4,s/4+t/4,-s/4+t/4,-s/4-t/4)

これがx1+x2=1,x3=x4=0と交わるか？ (NG)

これがx1+x3=1,x2=x4=0と交わるか？ (NG)

これがx1+x4=1,x2=x3=0と交わるか？ (NG)

これがx2+x3=1,x1=x4=0と交わるか？ (NG)

これがx2+x4=1,x2=x3=0と交わるか？ (NG)

これがx3+x4=1,x1=x2=0と交わるか？ (NG)

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共面性

(-1,0,1,0)

(0,-1,0,1)

as+bt=(-s,-t,s,t)

これでも結果は変わらない

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