「四面体ABCDがあり、ABの中点をM,CDの中点をNとする。MNを通る平面は常に四面体ABCDの体積を2等分する」

「2k-1次元単体A1A2・・・A2nのｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,Bkを通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

3次元の場合

超平面：x1+x3=x2+x4=1/2と

辺x1+x2=1,x3=0,x4=0の交点x1[0,1],x2{0,1]を求めてみたい→x1=1/2,x2=1/2

辺x1+x3=1,x2=0,x4=0の交点x1[0,1],x3{0,1]を求めてみたい→NG

辺x1+x4=1,x2=0,x3=0の交点x1[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→x1=1/2,x4=1/2

辺x2+x3=1,x1=0,x4=0の交点x2[0,1],x3{0,1]を求めてみたい→x2=1/2,x3=1/2

辺x2+x4=1,x1=0,x3=0の交点x2[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→NG

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0の交点x3[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→x3=1/2,x4=1/2

4辺と交差する

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3次元の場合

超平面：x1+x3=1

x2+x4=0と

辺x1+x2=1,x3=0,x4=0の交点x1[0,1],x2{0,1]を求めてみたい→x1=1,x2=0

辺x1+x3=1,x2=0,x4=0の交点x1[0,1],x3{0,1]を求めてみたい→NG

辺x1+x4=1,x2=0,x3=0の交点x1[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→x1=1,x4=0

辺x2+x3=1,x1=0,x4=0の交点x2[0,1],x3{0,1]を求めてみたい→x2=0,x3=1

辺x2+x4=1,x1=0,x3=0の交点x2[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→NG

辺x3+x4=1,x1=0,x2=0の交点x3[0,1],x4{0,1]を求めてみたい→x3=1,x4=0

4辺と交差する

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5次元の場合

x1+x3+x5=1/2

x2+x4+x6=1/2と

x1+x2=1,x3=x4=x5=x6=0との交点→x1=1/2,x2=1/2

x1+x3=1,x2=x4=x5=x6=0との交点→NG

x1+x4=1,x2=x3=x5=x6=0との交点→x1=1/2,x4=1/2

x1+x5=1,x2=x3=x4=x6=0との交点→NG

x1+x6=1,x2=x3=x4=x5=0との交点→x1=1/2,x6=1/2

x2+x3=1,x1=x4=x5=x6=0との交点→x2=1/2,x3=1/2

x2+x4=1,x1=x3=x5=x6=0との交点→NG

x2+x5=1,x1=x3=x4=x6=0との交点→x2=1/2,x5=1/2

x2+x6=1,x1=x3=x4=x5=0との交点→NG

x3+x4=1,x1=x2=x5=x6=0との交点→x3=1/2,x4=1/2

x3+x5=1,x1=x2=x4=x6=0との交点→NG

x3+x6=1,x1=x2=x4=x5=0との交点→x3=1/2,x6=1/2

x4+x5=1,x1=x2=x3=x6=0との交点→x4=1/2,x5=1/2

x4+x6=1,x1=x2=x3=x5=0との交点→NG

x5+x6=1,x1=x2=x3=x4=0との交点→x5=1/2,x6=1/2

略図を描いてみても正六角形を含んでいる

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この偶数次元版は辺→点の極限を考えることによって、

「2k次元単体A1A2・・・A2k,A2k+1のｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,BkとA2k+1を通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

と思われる。

2次元の場合

「三角形ABCがあり、ABの中点をMとする。MCを通る直線は常に三角形ABCの体積を2等分する」は正しい

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4次元の奇数角形の場合

x1+x3+x5=1/2→断面の相方はx1,x3,x5

x2+x4=1/2と

x1+x2=1,x3=x4=x5=0との交点→x1=1/2,x2=1/2

x1+x3=1,x2=x4=x5=0との交点→NG

x1+x4=1,x2=x3=x5=0との交点→x1=1/2,x4=1/2

x1+x5=1,x2=x3=x4=0との交点→NG

x2+x3=1,x1=x4=x5=0との交点→x2=1/2,x3=1/2

x2+x4=1,x1=x3=x5=0との交点→NG

x2+x5=1,x1=x3=x4=0との交点→x2=1/2,x5=1/2

x3+x4=1,x1=x2=x5=0との交点→x3=1/2,x4=1/2

x3+x5=1,x1=x2=x4=0との交点→NG

x4+x5=1,x1=x2=x3=0との交点→x4=1/2,x5=1/2

略図を描いてみると正五角形を含んでいない

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4次元の奇数角形の場合

x1+x3+x5=1→断面の相方はx1,x3,x5

x2+x4=0と

x1+x2=1,x3=x4=x5=0との交点→x1=1,x2=0

x1+x3=1,x2=x4=x5=0との交点→NG

x1+x4=1,x2=x3=x5=0との交点→x1=1,x4=0

x1+x5=1,x2=x3=x4=0との交点→NG

x2+x3=1,x1=x4=x5=0との交点→x2=0,x3=1

x2+x4=1,x1=x3=x5=0との交点→NG

x2+x5=1,x1=x3=x4=0との交点→x2=0,x5=1

x3+x4=1,x1=x2=x5=0との交点→x3=1,x4=0

x3+x5=1,x1=x2=x4=0との交点→NG

x4+x5=1,x1=x2=x3=0との交点→x4=0,x5=1

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4次元の奇数角形の場合

x1+x3+x5=0→断面の相方はx1,x3,x5

x2+x4=1と

x1+x2=1,x3=x4=x5=0との交点→x1=0,x2=1

x1+x3=1,x2=x4=x5=0との交点→NG

x1+x4=1,x2=x3=x5=0との交点→x1=0,x4=1

x1+x5=1,x2=x3=x4=0との交点→NG

x2+x3=1,x1=x4=x5=0との交点→x2=1,x3=0

x2+x4=1,x1=x3=x5=0との交点→NG

x2+x5=1,x1=x3=x4=0との交点→x2=1,x5=0

x3+x4=1,x1=x2=x5=0との交点→x3=0,x4=1

x3+x5=1,x1=x2=x4=0との交点→NG

x4+x5=1,x1=x2=x3=0との交点→x4=1,x5=0

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4次元の奇数角形の場合

x1+x3=1/2

x2+x4+x5=1/2と→断面の相方はx2,x4,x5

x1+x2=1,x3=x4=x5=0との交点→x1=1/2,x2=1/2

x1+x3=1,x2=x4=x5=0との交点→NG

x1+x4=1,x2=x3=x5=0との交点→x1=1/2,x4=1/2

x1+x5=1,x2=x3=x4=0との交点→x1=1/2,x5=1/2

x2+x3=1,x1=x4=x5=0との交点→x2=1/2,x3=1/2

x2+x4=1,x1=x3=x5=0との交点→NG

x2+x5=1,x1=x3=x4=0との交点→NG

x3+x4=1,x1=x2=x5=0との交点→x3=1/2,x4=1/2

x3+x5=1,x1=x2=x4=0との交点→x3=1/2,x5=1/2

x4+x5=1,x1=x2=x3=0との交点→NG

x5+x6=1,x1=x2=x3=x4=0との交点→NG

略図を描いてみると正五角形を含んでいない

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2次元の場合をやってみたい。

x1+x3=1/2→断面の相方はx1,x3

x2=1/2と

x1+x2=1,x3=0との交点→x1=1/2,x2=1/2→断面の相方はx3

x1+x3=1,x2==0との交点→NG

x2+x3=1,x1=0との交点→x2=1/2,x3=1/2→断面の相方はx1

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2次元の場合をやってみたい。

x1+x3=1→断面の相方はx1,x3

x2=0と

x1+x2=1,x3=0との交点→x1=1,x2=0

x1+x3=1,x2==0との交点→NG

x2+x3=1,x1=0との交点→x2=0,x3=1→断面の相方はx1

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2次元の場合をやってみたい。

x1+x3=0→断面の相方はx1,x3

x2=1と

x1+x2=1,x3=0との交点→x1=0,x2=1

x1+x3=1,x2==0との交点→NG

x2+x3=1,x1=0との交点→x2=1,x3=0→断面の相方はx1

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2次元の場合をやってみたい。

x1=1/2

x2+x3=1/2と→断面の相方はx2,x3

x1+x2=1,x3=0との交点→x1=1/2,x2=1/2→断面の相方はx3

x1+x3=1,x2==0との交点→x1=1/2,x3=1/2→断面の相方はx2

x2+x3=1,x1=0との交点→NG

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形式的には辺の中点を頂点を通る断面を得ることができる

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