正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

正5胞体の場合

P1:(1,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P4:(0,0,0,1,0)

P5:(0,0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4,0),・・・

正5胞体の中心は (1/5,1/5,1/5,1/5,1/5)

1辺は√2になります。

正5胞体の相隣る5辺の中点は

(1/2,1/2,0,0,0),(0,1/2,1/2,0,0),(0,0,1/2,1/2,0),(1/2,0,0,1/2,0),(1/2,0,0,0,1/2)

となって、1辺の長さ√1/2,対角線の長さ1となって、正五角形ではないことがわかります。

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正5胞体の5頂点

は超平面：x1+x2+x3+x4+x5=1上にあります。

また、赤道面

は超平面：x1-x4=X(x2-x3),x2-x5=X(x3-x4),x3-x1=X(x4-x5)上にあるとすると

これらはx4-x2=X(x5-x1), x5-x3=X(x1-x2)も満たしますから、

X^2-X-1=0,X=τ,-τ^-1

5点の巡回置換の2つある不変平面は

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)と

x2-x3=X(x4-x1), x3-x4=X(x5-x2),x4-x5=X(x1-x3)

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5点の巡回置換の2つある不変平面は

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)と

それに直交する超平面： x2-x3=X(x4-x1), x3-x4=X(x5-x2),x4-x5=X(x1-x3)

例えば、面P2P3P4はx2+x3+x4=1,x1=0,x5=0上にあり、

x1-x4=τ(x2-x3),x2-x5=τ(x3-x4),x3-x1=τ(x4-x5)との共有点は(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

この巡回置換によって正五角形の頂点が得られます。

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(τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0,0)

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

(0,0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

(τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5,1/√5)

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)

この5点は超平面：x1+x2+x3+x4+x5=1上にあるが、2次元平面上に載る形には表さないだろうか？

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「四面体ABCDがあり、ABの中点をM,CDの中点をNとする。MNを通る平面は常に四面体ABCDの体積を2等分する」

「2k-1次元単体A1A2・・・A2nのｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,Bkを通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

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この偶数次元版は辺→点の極限を考えることによって、

「2k次元単体A1A2・・・A2k,A2k+1のｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,BkとA2k+1を通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

と思われる。

2次元の場合

「三角形ABCがあり、ABの中点をMとする。MCを通る直線は常に三角形ABCの体積を2等分する」は正しい

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P1:(1,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P4:(0,0,0,1,0)

P5:(0,0,0,0,1)

P1P2の中点(1/2,1/2,0,0,0)

P3P4の中点(0,0,1/2,1/2,0)

P5(0,0,0,0,1)を通る超平面をx+by+cz+du+ev=fとする

1/2+b/2=f

c/2+d/2=f

e=f

f=1とおくと,e=1,b=1,c=1,d=1

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(τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0,0)

(0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5,0)

(0,0,τ^-1/√5,1/√5,τ^-1/√5)

(τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5,1/√5)

(1/√5,τ^-1/√5,0,0,τ^-1/√5)

この5点は超平面：x1+x2+x3+x4+x5=1上にある

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P1:(1,0,0,0,0)

P2:(0,1,0,0,0)

P3:(0,0,1,0,0)

P4:(0,0,0,1,0)

P5:(0,0,0,0,1)

P2P3の中点(0,1/2,1/2,0,0)

P4P5の中点(0,0,0,1/2,1/2)

P1(1,0,0,0,0)を通る超平面をx+by+cz+du+ev=fとする

b/2+c/2=f

d/2+e/2=f

1=f

f=1とおくと,e=1,b=1,c=1,d=1→x1+x2+x3+x4+x5=1以外の解はなさそうである。

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