フィボナッチ数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ・・・

の一般項は３項漸化式

Fn+2=Fn+1+Fn

をそれぞれ、x^2,x,1とおいて得られる特性方程式の解α、βを利用することで求めることができます。

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Fn=(αn-βn)/(α-β)

具体的にはx^2-x-1=0の解は

α=(1+√5)/2, β=(1-√5)/2

となり、無理数が現れますが、うまく打ち消しあって整数値をとります。

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トリボナッチ数列

Tn+3=aTn+2+bTn+1+cTn

の一般項は４項漸化式をそれぞれ、x^3,x^2,x,1とおいて得られる特性方程式の解α、β,γを利用することで求めることができます。

Tn=-{(β-γ)αn+1+(γ-α)βn+1+(α-β)γn+1)}/(α-β)(β-γ)(γ-α)

ここで、γ=0とおけばフィボナッチ数列の一般項

Fn=(αn-βn)/(α-β)

が得られます。

たとえばa=X,b=-X,c=1、X=1+2cosθの場合、特性方程式の解は

α=1, β=ω,γ=ω^-1

ω=cosθ+i・sinθ, ω^-1=cosθ-i・sinθ

となります。複素数が現れますが、これもキャンセルアウトされ整数値をとります。

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