正四面体の辺の中点をうまく結ぶと正方形ができます。

ところで、正四面体に限らず、正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になりますが、そこで、

正単体をもっとも手軽に作るには全体を1次元上げて、ｎ+1次元空間の単位点ｎ+1個からなる単体をとることです。

正四面体の場合

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

辺の中点は(1/2,1/2,0,0),・・・

面の中心は(1/3,1/3,1/3,0),・・・

正四面体の中心は(1/4,1/4,1/4,1/4)

1辺は√2になります。

正四面体の相隣る4辺の中点は

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

となって、1辺の長さ√1/2,対角線の長さ1となって、正方形であることがわかります。

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正四面体の4頂点

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

は超平面：x1+x2+x3+x4=1上にあります。

また、赤道面

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

は超平面：x1+x3=x2+x4=1/2上にあります。

(1/2,1/2,0,0)は、x1+c2=1,x3=0,x4=0の共有される点であり、辺(1,0,0,0)-(0,1,0,0)を含んでいます。

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正四面体の4頂点

(1,0,0,0)

(0,1,0,0)

(0,0,1,0)

(0,0,0,1)

は超平面：x1+x2+x3+x4=1上にあります。

また、赤道面

(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

は超平面：x1+x3=x2+x4=1/2上にあります。

x1+x2+x3+x4=1ではなく、x1+x3=x2+x4=1/2のような表示が求められている

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この偶数次元版は辺→点の極限を考えることによって、

「2k次元単体A1A2・・・A2k,A2k+1のｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,BkとA2k+1を通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

と思われる。

2次元の場合

「三角形ABCがあり、ABの中点をMとする。MCを通る直線は常に三角形ABCの体積を2等分する」は正しい

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P1:(1,0,0,0)

P2:(0,1,0,0)

P3:(0,0,1,0)

P4:(0,0,0,1)

P1P2の中点(1/2,1/2,0,0)

P3P4の中点(0,0,1/2,1/2)

を通る超平面をx+by+cz+du=eとする

1/2+b/2=e

c/2+d/2=e

e=1とおくとb=1,c=1,d=1

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(1/2,1/2,0,0),(0,1/2,1/2,0),(0,0,1/2,1/2),(1/2,0,0,1/2)

は超平面：x1+x3=x2+x4=1/2上にあります。

x1+x2+x3+x4=1ではなく、x1+x3=x2+x4=1/2のような表示が求められている

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