試作完成

サマーヴィルは４個のヒルに等分することができる

ヒルは３通りの方法で合同に分割することができる

したがって、ヒルを使った空間充填連続回転環を作れば、それから３種類の空間充填連続回転環に組みなおすことができる

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　テトラドロンの最長辺を垂直に二等分する面で切断すると，２個のペンタドロンに等分される．

ところが，驚いたことに最長辺の二等分点を通る別の切断面で四面体に二等分，四等分，八等分することができるのである．

テトラドロンにはもうひとつの２等分面がある．それは最長辺の２等分点を通るが，非垂直の２等分面である．

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［１］テトラドロンの最長辺を垂直に二等分する面で切断すると，２個のペンタドロンに等分される．

［２］最長辺の二等分点を通り，それに相対する底辺を含む別の切断面で四面体を二等分することができる．

［３］［２］の最長辺に相対する底辺の二等分点を通り，最長辺を含む別の切断面で四面体を二等分することができる．

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［２］［３］はペアになっているように見えるが、実際、

「四面体ABCDがあり、ABの中点をM,CDの中点をNとする。MNを通る平面は常に四面体ABCDの体積を2等分する」

「2k-1次元単体A1A2・・・A2nのｋ本の辺A1A2,A3A4,・・・,A2k-1A2kの中点をB1,・・・,Bkとする。このときB1,・・・,Bkを通るすべての超平面は単体の体積を２等分する。」

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テトラドロンの頂点を

A(0,0,0)

B(1,0,0)

C(1,1,0)

D(1,1,1)

とする。その重心はG(3/4,2/4,1/4)である。

[1]は方向余弦(1,1,1)でM(1/2,1/2,1/2)を通るから

x+y+z=3/2

この平面はBCの中点(1,1/2,0)を通ることになる。[2][3]も同様

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ABの中点M(1/2,0,0)

CDの中点N(1,1,1/2)を中心として考える。

ABNを通る平面は

ax+by+cz=d

d=0

a=0

a+b+c/2=0

b=1,c=-2→y-2z=0→重心を通る

ABC-Nの体積は1/3・1/2・1/2=1/12で体積を2等分している。

CDMを通る平面は

ax+by+cz=d

a+b=d

a+b+c=d, c=0

a/2=d→a=2,b=-1,d=1→2x-y=1→重心を通る

BCD-Mの体積は1/3・1/2・1/2=1/12で体積を2等分している。

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