ｋ＝√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋・・・））））

の場合は，２次方程式の解の公式を使えば，ｍ＝ｋ^2−ｋとすることができる．

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

　　√（３０＋√（３０＋√（３０＋√（３０＋・・・））））＝６

　今回のコラムでは

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

の別証を与えてみたい．

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【１】別証

　倍角の公式

　　ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ^2α−１

は

　　２ｃｏｓα＝√（２＋２ｃｏｓ２α）

と書き換えることができる．

　たとえば，α＝π／３２とおくと

　　２ｃｏｓπ／３２α＝√（２＋２ｃｏｓπ／１６）

　＝√（２＋√（２＋２ｃｏｓπ／８））

　＝√（２＋√（２＋√（２＋２ｃｏｓπ／４）））

　＝√（２＋√（２＋√（２＋√２）））

　α＝π／２^nとして，ｎ→∞とすると，

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

が得られる．

　ヴィエタの無限積は

　　２／π＝√２／２・√（２＋√２）／２・√（２＋√（２＋√２））／２・√（２＋√（２＋√（２＋√２）））／２・・・

とも書くことができる．

［補］ウォリス積

　　４／π＝３^2／（３^2−１）・５^2／（５^2−１）・７^2／（７^2−１）・・・

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　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

x^2=2+x→x=2

x^2=a+xにおいて、x=3にするためにはa=6

x^2=a+xにおいて、x=4にするためにはa=12

x^2=a+xにおいて、x=5にするためにはa=20

逆に、

a=1とおくと、x=φ

そして、多重根号で、πを表せないか試みたのがヴィエタの円周率公式です。

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