■ほぼ正三角形のヘロン三角形(その11)

【1】指数型公式

  gn=(a+1)gn-1+gn-2

a=0,g0=1,g1=a+1→fn

a=0,g0=2,g1=a+1→Ln

a=1,g0=1,g1=a+1→pn

a=1,g0=2,g1=a+1→Qn

の一般項は,いずれも指数型公式

  gn=aα^n+bβ^n

で与えられる.

 もう少し簡単にして,,たとえば,

  gn=2gn-1+1

の場合でも,指数型公式

  gn=2^n−1

が得られる.

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 (その1)では

  4h^2=3(b^2−4)

ここで,b=2mとおくと,

  h^2=3(m^2−1)

であるから,ペル方程式h^2−3m^2=−3というペル方程式に帰着される.

 これを解くと

  (a,b,c)=(3,4,5),(13,14,15),(51,52,53),(193,194,195),(723,724,725),(2701,2702,2703),・・・が得られる.

 また,bについては漸化式

  bn=4bn-1−bn-2

が得られる.

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  x^2−4x+1=0,x=2±√3

  α=2+√3,β=2−√3

  xn+1−β=α(xn−β)=α^n+1(x0−β)

  xn+1−α=β(xn−α)=β^n+1(x0−α)

  2xn+1−α−β=α^n+1(x0−β)+β^n+1(x0−α)

  xn+1={α^n+1(x0−β)+β^n+1(x0−α)+α+β}/2

  xn={α^n(x0−β)+β^n(x0−α)+α+β}/2

  b0=4

  bn={α^n+1+β^n+1+4}/2

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