■ガウスのペンタグラム(その5)

計算に勘違いがあるようなので再考。

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球面五角形の辺の長さをαとする。

a=(tanα)^2とおくと、1+a=a^2, a=(1+√5)/2=φ

tanα=√τ

cosα=1/τ=(√5-1)/2

sinα=1/√τ

α=atn(1/√τ)=51.8273度

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【1】ガウスの五芒星公式

(1)3+5a=a^5

  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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(2)この球面五角形の面積をSとすると

S=2π-5α

(1+i√a)^5=a^5・(cosS-isinS)=a^5・(cos5α+isin5α)

(1+i√a)=a・(cosα+isinα)

(1/a+i1/√a)=(cosα+isinα)

cosα=1/a=(√5-1)/2  (OK)

sinα=1/√a  (OK)

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(3)∠A+α=π

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球面直角ニ等辺三角形は(α、α、π/2)であるからT=π/2+2α-π

また辺の長さを(α、ω、ω)とすると

cosα=(cosω)^2+(sinω)^2cos(π/2)

cosα=(cosω)^2

cosω=(cosα)^1/2=1/√τ=sinα

ω=38.1727度

α+ω=arccos(1/τ)+arccos(1/√τ)=arccos0=π/2

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まだ四角形が残っていると思われる

4点の球面距離を(ω、ω、ζ、ζ)とすると

2ω+α+ζ=π

2(π/2-α)+α+ζ=πよりζ=α

内角は(π/2,π/2、π/2、π-α)

三角形の内角は(π/2,π/4,(π-α)/2)

U=π/4−α/2

四角形の面積は2U=π/2−α=ω

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S+3T+2U=πは成り立つ

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