■大円弧八面体(その4)

【1】大円弧八面体

それぞれは大円の円弧で中心角150度で設計しました。

正しいかどうか、計算で確かめていただけませんか?

1つのピースに等間隔に4か所の切込みがあります。それらは球体の大円上にあります。

確認していただきたいのは、一つのピースの両端の切り欠きが球の中心となす中心角が150度かどうかです。

同じことですが、隣り合う2つの切り欠きが球の中心となす中心角が50度かどうかです。

よろしくお願いします。(中川宏)

===================================

【2】球面三角法

 半径1の球面(単位球面)上に3点A,B,Cがあり,それぞれが大円の弧で結ばれているものとします.球面三角形ABCの3辺の長さ(球面距離)をa,b,cで表すとそれぞれ大円の中心角となります.すなわち,単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです.また,内角A,B,Cは大円同士が交わる面角の大きさです.

 球面三角法の公式は多数ありますが,計算に便利なように単位球における式として与えられています.ここで用いるのは

  cosc=cosa・cosb+sina・sinb・cosC

とその巡回置換,それに球面三角形ABCの面積Sを角過剰として表した

  S=A+B+C−π

の2つだけです.

===================================

  cos50=cos50・cos50+sin50・sin50・cosC

cosC=(cos50-cos50・cos50)/sin50・sin50

 S=3C−π

  cos100=cos100・cos100+sin100・sin100・cosD

cosD=(cos100-cos100・cos100)/sin100・sin100

ここで、同じ球の大円の円弧であるためにはC+D=πである必要があるが、それを満たしているようには思えない。

しかし、角度を100度からずらすと同じ球面に乗るように計算することができる。

===================================

さらに計算を続けると

 T=3D−π

4S+4T=4π

を満たす必要がある。

コンピュータが壊れたので計算できない・・・

===================================

cosC=cos50(1-cos50)/(1-(cos50)^2)

cosC=cos50/(1+cos50)

cosD=cos100/(1+cos100)={2(cos50)^2-1}/2(cos50)^2

===================================

A:Bに分割する計算を考えているのですが、

Aを固定してBを求めます。A+B>180になったらAを変更します。

横浜の友人よりコンピュータをいただくことができたので、さっそく計算。

A=50度に対してB=106.334度にすると測地線になることが計算できた。

大円になれば部材は直角にかみ合うようになるはずですが、外れやすくもなります。

しかし、フラーのgeodesic domeドームよりも真の意味でのgeodesic domeになります。

===================================