コクセターがフリーズの研究を始めたのはガウスによる球面上の五角形（五芒星）の研究がきっかけだった。

西山享「フリーズの数学・スケッチ帖」共立出版

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

球面五角形の辺の長さをαとする。

a=(tanα)^2とおくと、1+a=a^2, a=(1+√5)/2=φ

tanα=√τ

cosα=1/τ＝(√5-1）/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ガウスの五芒星公式

(1)3+5a=a^5

　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(2)この球面五角形の面積をSとすると

(1+i√a)^5=a^5・(cosS-isinS)

(1+i√a)=a・(cos(-S/5)+isin(-S/5))

(1/a+i1/√a)=(cos(-S/5)+isin(-S/5))

cos(-S/5)=1/a=(√5-1）/2　　（NG)

S＞0より

cos(-S/5)=-1/a=-(√5-1）/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(3)∠A+α=π

(4)S=2π-5α

cos(-S/5)=cos(-2π/5+α)＝cosαcos2π/5+sinαsin2π/5=-1/a=-(√5-1）/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

球面直角ニ等辺三角形は（α、α、π/2)であるからS＝π/2+2α-π

また辺の長さを（α、ω、ω）とすると

cosα＝(cosω)^2+(sinω)^2cos（π/2）

cosα＝(cosω)^2

cosω＝（cosα)^1/2=1/√τ

α＋ω=arccos(1/τ）+arccos(1/√τ）＝arcocs０＝π/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

まだ四角形が残っていると思われる

４点の球面距離を（ω、ω、ζ、ζ）とすると

２ω+α＋ζ＝π

2（π/2-α）+α＋ζ＝πよりζ＝α

内角は（π/2，π/2、π/2、π-α）

対角線の球面距離は

cosη=cosαcosω+sinαsinωcosπ/2＝cosαcosω＝cosαsinω

しかし、siこれは不要である。

三角形の内角は（π/2，π/4,(π-α）/2)

S＝π/4−α/2

四角形の面積は2S＝π/2−α＝ω

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝