■大円弧32面体(その1)

【1】大円弧32面体

それでは、72度30本でできたねじれ12面体についてもお願いします。

球面距離24度の正五角形12個と

球面距離48度の正三角形20個で、4πとなるのかということです。  (中川宏)

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【2】球面三角法

 半径1の球面(単位球面)上に3点A,B,Cがあり,それぞれが大円の弧で結ばれているものとします.球面三角形ABCの3辺の長さ(球面距離)をa,b,cで表すとそれぞれ大円の中心角となります.すなわち,単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです.また,内角A,B,Cは大円同士が交わる面角の大きさです.

 球面三角法の公式は多数ありますが,計算に便利なように単位球における式として与えられています.ここで用いるのは

  cosc=cosa・cosb+sina・sinb・cosC

とその巡回置換,それに球面三角形ABCの面積Sを角過剰として表した

  S=A+B+C−π

の2つだけです.

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  cos48=cos48・cos48+sin48・sin48・cosC0

cosC0=(cos48-cos48・cos48)/sin48・sin48

 S=3C0−π

 球面三角形の総面積はSが20枚あるので

  20S

となるというわけです.

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正五角形の1辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

 次に,正五角形の辺に対する中心角θ1=12度と対角線に対する中心角θ2を求めたいのですが

  sin(24/2)=a

  sin(θ2/2)=aφ=φsin(12)

より,

  θ1=24

  θ2=2arcsin(φsin(12))

 切断面の正五角形のある頂点から対辺に向けて2本の対角線を引くと,正五角形が3個の三角形に分割されます.そして2本の辺と1本の対角線からなる三角形ABCに対しては,球面三角法の公式

  cosθ2=cos^2θ1+sin^2θ1cosC

  cosθ1=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosA

  cosθ1=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosB

が成立しますから

  C=arccos((cosθ2−cos^2θ1)/sin^2θ1)

  A=B=arccos((cosθ1−cosθ1cosθ2)/sinθ1sinθ2)

より,球面三角形の面積

  S1=A+B+C−π

が求まります.

 1本の辺と2本の対角線からなる三角形XYZに対しても,

  cosθ1=cos^2θ2+sin^2θ2cosZ

  cosθ2=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosX

  cosθ2=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosY

が成立しますから

  Z=arccos((cosθ1−cos^2θ2)/sin^2θ2)

  X=Y=arccos((cosθ2−cosθ1cosθ2)/sinθ1sinθ2)

より,

  S2=X+Y+Z−π

 球面五角形の総面積は

  2S1+S2

が12枚あるので

  12(2S1+S2)

となるというわけです.

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