【１】大円弧３２面体

それでは、７２度３０本でできたねじれ１２面体についてもお願いします。

球面距離２４度の正五角形１２個と

球面距離４８度の正三角形２０個で、４πとなるのかということです。　　（中川宏）

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【２】球面三角法

　半径１の球面（単位球面）上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり，それぞれが大円の弧で結ばれているものとします．球面三角形ＡＢＣの３辺の長さ（球面距離）をａ，ｂ，ｃで表すとそれぞれ大円の中心角となります．すなわち，単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです．また，内角Ａ，Ｂ，Ｃは大円同士が交わる面角の大きさです．

　球面三角法の公式は多数ありますが，計算に便利なように単位球における式として与えられています．ここで用いるのは

　　ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｃｏｓＣ

とその巡回置換，それに球面三角形ＡＢＣの面積Ｓを角過剰として表した

　　Ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π

の２つだけです．

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　　ｃｏｓ48＝ｃｏｓ48・ｃｏｓ48＋ｓｉｎ48・ｓｉｎ48・ｃｏｓＣ0

ｃｏｓＣ0=(ｃｏｓ48-ｃｏｓ48・ｃｏｓ48)/ｓｉｎ48・ｓｉｎ48

　Ｓ＝３Ｃ0−π

　球面三角形の総面積はSが20枚あるので

　　20S

となるというわけです．

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

　次に，正五角形の辺に対する中心角θ1=12度と対角線に対する中心角θ2を求めたいのですが

　　ｓｉｎ（24／２）＝a

　　ｓｉｎ（θ2／２）＝aφ=φsin(12)

より，

　　θ1＝24

　　θ2＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(12)）

　切断面の正五角形のある頂点から対辺に向けて２本の対角線を引くと，正五角形が３個の三角形に分割されます．そして２本の辺と１本の対角線からなる三角形ＡＢＣに対しては，球面三角法の公式

　　ｃｏｓθ2＝ｃｏｓ^2θ1＋ｓｉｎ^2θ1ｃｏｓＣ

　　ｃｏｓθ1＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＡ

　　ｃｏｓθ1＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＢ

が成立しますから

　　Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ2−ｃｏｓ^2θ1）／ｓｉｎ^2θ1）

　　Ａ＝Ｂ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ1−ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2）／ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2）

より，球面三角形の面積

　　Ｓ1＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π

が求まります．

　１本の辺と２本の対角線からなる三角形ＸＹＺに対しても，

　　ｃｏｓθ1＝ｃｏｓ^2θ2＋ｓｉｎ^2θ2ｃｏｓＺ

　　ｃｏｓθ2＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＸ

　　ｃｏｓθ2＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＹ

が成立しますから

　　Z＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ1−ｃｏｓ^2θ2）／ｓｉｎ^2θ2）

　　X＝Y＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2）／ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2）

より，

　　Ｓ2＝Ｘ＋Ｙ＋Ｚ−π

　球面五角形の総面積は

　　２Ｓ1＋Ｓ2

が１２枚あるので

　　１２（２Ｓ1＋Ｓ2）

となるというわけです．

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