■シュレーフリの公式と直角三角錐(その88)

 ファウルハーバーの定理は,ピタゴラスの定理の拡張である.

 各辺(a,b,c)と空間対角線dの直方体では

  a^2+b^2+c^2=d^2

が成り立つが,ファウルハーバーは直角三角形の辺の長さの2乗を,直角三角錐の面の面積の2乗に拡張した.

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【1】ファウルハーバーの定理

 辺(p,q,r)が1点において直交する四面体において,3つの面の面積をA,B,C,斜面の面積をDとすると

  A^2+B^2+C^2=D^2

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(証明)斜面の辺の長さを(a,b,c)とすると

  a^2=q^2+r^2

  b^2=r^2+p^2

  c^2=p^2+r^2

 また,3面の面積は

  qr/2=A

  rp/2=B

  pq/2=C

さらみ斜面の三角形の高さをhとおくと

  D=ah/2

  h^2=k^2+p^2,ak/2=A

 以上より,

  4D^2=a^2h^2=a^2(k^2+p^2)=4A^2+a^2p^2

=4A^2+(q^2+r^2)p^2

=4A^2+r^2p^2+p^2q^2

=4A^2+4B^2+4C^2

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