【１】フォードの円列

　フォードの円列と直線との接点は常に有理数であり，区間［０，１］のすべての有理数はフォードの円列とｘ軸との接点として得られる．

　たとえば，ｘ^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2と（ｘ−１）^2＋（ｙ−１／２）^2＝（１／２）^2によって表されるような２円から始め，隣接する２項ｐ／ｑとｒ／ｓの間に中間分数

　　（ｐ＋ｒ）／（ｑ＋ｓ）

を挿入すると，ファレイ数列

［０／１，１／１］

→［０／１，１／２，１／１］（２位のファレイ数列）

→［０／１，１／３，１／２，２／３，１／１］（３位のファレイ数列）

→［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１］（５位のファレイ数列）

→［０／１，１／５，１／４，２／７，１／３，３／８，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，５／８，２／３，５／７，３／４，４／５，１／１］（８位のファレイ数列）

が得られる．

　ｎ位のファレイ数列とは分子と分母がｎを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものである．たとえば，位数４のファレイ数列は

　　［・・・，０／１，１／４，１／３，１／２，２／３，３／４，１／１，・・・］

位数６のファレイ数列は

　　［・・・，０／１，１／６，１／５，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，４／５，５／６，１／１，・・・］

位数７のファレイ数列は

　　［・・・，０／１，１／７，１／６，１／５，１／４，２／７，１／３，２／５，３／７，１／２，４／７，３／５，２／３，５／７，３／４，４／５，５／６，６／７，１／１，・・・］

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていく．

　０と１の間にある既約分数で分母かｎを越えない分数というだけでなく，わざわざ分子まで入れてある理由は，ファレイ数列を拡張させるためである．たとえば，位数５のファレイ数列は

　　［０／１，１／４，１／３，２／５，１／２，３／５，２／３，３／４，１／１，５／４，４／３，３／２，５／３，２／１，５／２，３／１，４／１，５／１］

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］位数ｎのファレイ数列の全分数の分母の和は分子の和の２倍である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝