連分数は関数を近似するときにも有効である。

tanzの連分数から

0次近似　　tanz=z

1次近似　　tanz=3z/(3-z^2)

2次近似　　tanz=z(15-z^2)/(15-6z^2)

が得られる。z=π/4のとき、0.9998となるが、

tanz=z+z^3/3+z^5/5ではこれよりも32倍も大きい誤差を生じる。

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誤差積分の連分数近似

∫(0,z)exp(-x^2)dx=(49140+3570z^3+739z^5)/(49140+19950z^2+2475z^4)

はz=2に対して1.2％の誤差であるが、z^9までのベキ級数展開では正しい値より110％も大きくなる

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tanzのテイラー展開は

tanz=z+z^3/3+2z^5/15+17z^7/315+62z^9/2835+・・・

tanzの連分数は

[z/1-,z^2/3-,z^2/5-,・・・]

z/(1+(az^2/(b+cx))〜z-az^3/b+acz^4/b^2

a=-1,b=3,c=0

z/(1-(z^2/(3+(az^2/(b+cx))〜z+z^3+(b-a)/9bz^5

a=-1,b=5

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tanhz={exp(z)-exp(-z)}/{exp(z)+exp(-z)}の連分数は

[z/1+,z^2/3+,z^2/5+,・・・]

{exp(z)-1}/{exp(z)+1}の連分数は

[z/2+,z^2/6+,z^2/10+,z^2/14+・・・]

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arctanzのテイラー展開は

arctanz=z-z^3/3+z^5/5-z^7/7+・・・

arctanzの連分数は

[z/1+,z^2/3+,4z^2/5+,9z^2/7+,16z^2/9+,・・・]

arctanzの連分数展開から連分数表現

π/4=[1/1+,1/2+,9/2+,25/2+,49/2+,・・・]

となる。

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