■パデ近似(その6)

連分数は関数を近似するときにも有効である。

tanzの連分数から

0次近似  tanz=z

1次近似  tanz=3z/(3-z^2)

2次近似  tanz=z(15-z^2)/(15-6z^2)

が得られる。z=π/4のとき、0.9998となるが、

tanz=z+z^3/3+z^5/5ではこれよりも32倍も大きい誤差を生じる。

===================================

誤差積分の連分数近似

∫(0,z)exp(-x^2)dx=(49140+3570z^3+739z^5)/(49140+19950z^2+2475z^4)

はz=2に対して1.2%の誤差であるが、z^9までのベキ級数展開では正しい値より110%も大きくなる

===================================

tanzのテイラー展開は

tanz=z+z^3/3+2z^5/15+17z^7/315+62z^9/2835+・・・

tanzの連分数は

[z/1-,z^2/3-,z^2/5-,・・・]

z/(1+(az^2/(b+cx))〜z-az^3/b+acz^4/b^2

a=-1,b=3,c=0

z/(1-(z^2/(3+(az^2/(b+cx))〜z+z^3+(b-a)/9bz^5

a=-1,b=5

===================================

arctanzの連分数展開から連分数表現

π/4=[1/1+,1/2+,9/2+,25/2+,49/2+,・・・]

となる。

===================================