■指数タワー関数の怪(その7)

それに対して,関数f(x)=x^xはx≧0で定義されます.

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[補題]関数y=x^xを微分せよ.

logy=logx^x=xlogx

  (xlogx)’=logx+1

  y’=y(logx+1)=(logx+1)x^x

したがって,x^xは0<x<1/eでは単調減少,x>1/eでは単調増加.x=1/eのとき,最小値(1/e)^1/e=e^-1/e=0.9622・・・をとる(誤り).また,t・logtはt→0のとき0となるから,

  x^x→1  (x→0)

y=x^x=eの解はx=exp(Ω)

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y=x^xの最小点

最小値(1/e)^1/e=e^-1/e=0.6922000・・・をとる.

y=x^x^x^x^x^・・・

(1/e)^e=e^-e=0.065988・・・はこの関数が有限値に収束するxの最小値である。

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