■2乗保型数(その66)

[A](1−√2)^n=an−bn√2=√an^2−√2bn^2

  an=1/2{(1+√2)^n+(1−√2)^n}

  bn=1/2√2{(1+√2)^n−(1−√2)^n}

 mは交互にan^2,2bn^2の値をとることになる.

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 Q(√2)ではε=1+√2が基本単数ですが,その他の解は

  (1+√2)^n=an+bn√2

により与えられます.

  (1+√2)(1−√2)=−1

  (1+√2)^2(1−√2)^2=1

  (1+√2)^3(1−√2)^3=−1

  (1+√2)^4(1−√2)^4=1

より,x^2−2y^2=±1の解を(tn,un),

   x^2−2y^2=1の解を(xn,yn),

   x^2−2y^2=−1の解を(rn,sn)

とおくと

  tn+√2un=(1+√2)^n

  xn+√2yn=(1+√2)^2n=(3+2√2)^n

  rn+√2sn=(1+√2)^2n-1=(1+√2)(3+2√2)^n-1

で与えられます.

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  y^2−8x^2=y^2−2(2x)^2=1=p^2−2q^2

  α=3+2√2,β=3−2√2

  xn =1/2(α^n+β^n)

  yn =1/2√2(α^n−β^n)

  p=1/2(α^n+β^n)

1/32{(17+12√2)^n+(17−12√2)^n−2}

>に食い違いがあるように見えるが,x^2−2y^2=1において,

(3+2√2)^n

n=1:(3,2)

n=2:(17,12)

n=3:(99,70)

n=4:(577,408)

n=5:(3363,2378)

となっているというわけである.

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