■2乗保型数(その44)

 5乗保型数には

  x^5=x→x(x−1)(x+1)(x^2+1)=0→x=0,1,−1

の基づく性質がみられるに違いない.

  x^5=x

をZ10で解くとは,Z2とZ5で解くことに帰着されるが,x=0,1,−1を代入すると

  x^2+1=0 (mod2)

は解をもたないが,(その7)より

  x^2+1=0 (mod5)

は2つの解をもつことがわかる.

  α=[・・・1212]5

  β=[・・・3233]5

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  「x^2+1=0 (mod2)のときは解をもたない.」

   m=2,F(x)=x^2+1

の場合を考えてみる.

   F(0)=1

   F(1)=2=0  (mod2)

より,b=1.

 F’(x)=2x

 F’(1)=2

であるから,

[1]Pを求める際の1次合同式は

  2x+ck=0  (mod2)

 しかし,

[1]F(1)=2=2c1,c1=1

   2x+1=0 (mod2)は解をもたない.

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